Парність та непарність функцій. 10 кл

 

Алгебра • 10 клас

Властивості функцій

Парність та непарність функцій

Досліджуємо симетрію графіків, алгоритми аналітичної перевірки $f(-x)$ та розв’язуємо практичні завдання.

0/10

Прогрес виконання вправ 0%

Візуалізатор Вправи

1. Теоретична основа: Основні визначення

Фундаментальна умова та класифікація функцій за симетрією

Обов'язкова передумова: Симетрія області визначення $D(f)$

Функція $y = f(x)$ може бути парною або непарною ТІЛЬКИ ТДІ, коли її область визначення $D(f)$ є симетричною відносно початку координат $(0)$.

Якщо $x \in D(f)$, то й $(-x) \in D(f)$ для всіх $x$.

Наприклад: якщо $D(f) = [-5; 5]$ або $(-\infty; +\infty)$ — область симетрична. Якщо $D(f) = [0; +\infty)$ або $[-2; 5]$ — функція ОДРАЗУ є ні парною, ні непарною!

Парна функція

Осьова симетрія ($Oy$)

$$f(-x) = f(x)$$

При зміні знаку аргументу значення функції не змінюється. Графік симетричний відносно осі ординат ($Oy$).

Приклади: $y = x^2$, $y = |x|$, $y = x^4 - 3$, $y = \cos x$.

Непарна функція

Центральна симетрія $(0,0)$

$$f(-x) = -f(x)$$

При зміні знаку аргументу значення функції змінює знак на протилежний. Графік симетричний відносно початку координат $(0,0)$.

Приклади: $y = x^3$, $y = \frac{1}{x}$, $y = x^5 - x$, $y = \sin x$.

Загального виду

Ні парна, ні непарна

$$f(-x) \neq f(x) \quad \text{i} \quad f(-x) \neq -f(x)$$

Неможливо винести чи звернути знак мінус до початкового вигляду. Графік не має симетрії ні відносно осі $Oy$, ні відносно $(0,0)$.

Приклади: $y = x^2 + x$, $y = \sqrt{x}$, $y = 2x - 5$.

2. Інтерактивна лабораторія графіків

Досліджуйте симетрію та порівнюйте точкові значення $f(x)$ та $f(-x)$ на площині

Точка $P(x_0, f(x_0))$ Точка $P'(-x_0, f(-x_0))$

Оберіть функцію для дослідження: f(x) = x² (Парна парабола) f(x) = |x| - 2 (Парний куточок) f(x) = x³ - 3x (Непарна кубічна) f(x) = 4 / x (Непарна гіпербола) f(x) = x² + 2x (Ні парна, ні непарна) f(x) = x³ + 1 (Ні парна, ні непарна)

Змінити контрольне $x_0$: x₀ = 1.8

Обчислення значень у дзеркальних точках:

При x₀ = 1.8: f(1.8) = 3.24

При -x₀ = -1.8: f(-1.8) = 3.24

Висновок візуалізатора:

f(-1.8) = f(1.8) ⟹ Функція ПАРНА. Графік симетричний відносно осі Oy.

f(x) P(x₀) P'(-x₀)

3. Алгоритм аналітичного дослідження $f(x)$

Дотримуйтесь цих 3 кроків на контрольних та розв'язанні вправ

1

Знайти область визначення $D(f)$

Перевірити, чи є $D(f)$ симетричною відносно початку координат $(0)$. Якщо ні — функція одразу ні парна, ні непарна.

2

Скласти та спростити вираз $f(-x)$

Підставити $(-x)$ замість кожного аргументу $x$ у формулу функції та розкрити дужки з урахуванням степенів.

3

Зробити підсумковий висновок

• Якщо $f(-x) = f(x) \implies$ **ПАРНА**
• Якщо $f(-x) = -f(x) \implies$ **НЕПАРНА**
• Інакше $\implies$ **НІ ПАРНА, НІ НЕПАРНА**

4. Експрес-тренажер: Розподіл функцій

Клацніть на функцію, а потім оберіть правильну категорію для її класифікації

Доступні функції для сортування:

$f(x) = x^4 - 2x^2$

$f(x) = x^5 + x$

$f(x) = x^3 + x^2$

$f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1}$

$f(x) = \frac{3}{x^3}$

$f(x) = \sqrt{x} - 1$

ПАРНІ ФУНКЦІЇ

НЕПАРНІ ФУНКЦІЇ

НІ ПАРНА, НІ НЕПАРНА

5. Практичний блок завдань з розв'язками

Розв'яжіть завдання самостійно, після чого перевірте себе

Завдання 1 • Аналітичне дослідження Складність: Базова

Дослідіть на парність функцію: $$f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$$

Детальне розв'язання:

1. Область визначення: Знаменник $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$. Множина $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$ є симетричною відносно $0$.

2. Підставимо $(-x)$:

$$f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x^3}{x^2 - 4} = -\left(\frac{x^3}{x^2 - 4}\right) = -f(x)$$

3. Висновок: Оскільки $f(-x) = -f(x)$, функція є НЕПАРНОЮ. $\blacksquare$

Завдання 2 • Дослідження ОДЗ Складність: Середня

Дослідіть на парність функцію: $$f(x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{x + 3}$$

Детальне розв'язання:

1. Область визначення $D(f)$: Вирази під коренем мають бути невід'ємними:

$$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 3 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies x \ge 3$$

Отже, $D(f) = [3; +\infty)$. Ця область НЕ є симетричною відносно початку координат (наприклад, точка $x = 5 \in D(f)$, а $-5 \notin D(f)$).

2. Висновок: Оскільки умова симетрії ОДЗ не виконується, функція є НІ ПАРНОЮ, НІ НЕПАРНОЮ. $\blacksquare$

Завдання 3 • Доповнення графіка Складність: Професіонал

Відомо, що непарна функція $y = f(x)$ визначена на всій числовій прямій. Якщо $f(4) = -7$, чому дорівнює значення виразу $3 \cdot f(-4) + f(0)$?

Детальне розв'язання:

1. Властивість $f(-4)$: Оскільки функція непарна, то $f(-x) = -f(x)$. Тому:

$$f(-4) = -f(4) = -(-7) = 7$$

2. Властивість $f(0)$: Якщо непарна функція визначена в точці $x = 0$, то її графік проходить через початок координат, тобто $f(0) = 0$. (Справді: $f(-0) = -f(0) \implies f(0) = -f(0) \implies 2f(0) = 0 \implies f(0) = 0$).

3. Обчислимо шуканий вираз:

$$3 \cdot f(-4) + f(0) = 3 \cdot 7 + 0 = 21$$

Відповідь: 21. $\blacksquare$

Інтерактивний навчальний комплект з алгебри для 10 класу

Тема: Парність та непарність функцій. Розроблено для уроків та самостійного вивчення.